სსიპ - ფერდინანდ თავაძის მეტალურგიისა და მასალათმცოდნეობის ინსტიტუტი
LEPL - FERDINAND TAVADZE METALLURGY AND MATERIALS SCIENCE INSTITUTE
არარეგულარული სტრუქტურული მოდელები და მათი გამოყენება მასალათმცოდნეობაში

ჯუმბერ ხანთაძე, დაბადებული 1933 წელს, ინჟინერი-მეტალურგი, ქიმიის მეც. დოქტორი, მთავარი მეც.თანამშრომელი


ჩემს ხელთაა ორი მონოგრაფია: 2009 წელს დასტამბული “ლითონური ნალღობების სტრუქტურული მოდელები” [1], რომლის ავტორიც მე გახლავართ და 2011 წელს გამოცემული გ.თავაძისა და ა.შტეინბერგის მონოგრაფია – “სპეციალური მასალების მიღება თვითგავრცელებადი მაღალტემპერატურული სინთეზით” [2,3].


პირველი მონოგრაფია მიზნათ ისახავს გამდნარი ლითონის, როგორც სტრუქტურულად მოუწესრიგებელი სისტემის მოდელირებას და ეყრდნობა ხისტი სფეროების სტატისტიკური ნარევის თვისებათა კვლევას ექსპერიმენტული და მათემატიკური მეთოდებით. მეორე წიგნი წმინდა პრაგმატულ მიზნებს ემსახურება და გულისხმობს სპეციალური მასალების მიღებას თვითგავრცელებადი მაღალტემპერატურული სინთეზით (თმს).


ჩვენი მიზანია დასახელებულ წიგნებში ჩამოყალიბებული მეცნიერული კონცეფციების შეჯერება და სიმბიოზი. რა აქვთ საერთო ამ, ერთი შეხედვით ორ, სრულიად განსხვავებულ თემას?


იმისათვის რომ ეს გასაგები გახდეს შეგახსენებთ თმს არსს. პროცესი ხორციელდება ორი ან რამოდენიმე რეაგენტის ქიმიური ურთიერთქმედების შედეგად გამოყოფილი სითბოს ხარჯზე, გარე მახურებლის გამოუყენებლად. ამისათვის მორეაგირე კომპონენტების ფხვნილების ნარევის წინასწარ დაპრესილ ბრიკეტს მიეწოდება თბური იმპულსი, როგორც წესი გახურებული ვოლფრმის ძაფის საშულებით. ლოკალური გახურების აგილზე ინიცირდება რეაქცია, რომელიც ვრცელდება მთელ ბრიკეტში მყარი ალის სახელწოდებით ცნობილი ტალღის სახით.


აქედან გამომდინარე, გასაგები ხდება, რომ ამ ორ თემას აერთიანებს კვლევის ძირითადი ობიექტის – ერთ შემთხვევაში ლითონური სითხის, ხოლო მეორე შემთხვევაში – ფხვნილის არარეგულარული, სტატისტიკური სტრუქტურა, რომელიც, თუ ჯონ ზაიმანს დავესესხებით მოუწესრიგებლობის ფიზიკის სფეროს განეკუთვნება და პრინციპში საერთო კანონზომიერებებით შეიძლება იყოს აღწერილი [4]. სწორედ ამ კანონზომიერების დადგენას ემსახურება ჩვენი მოხსენება. აქვე მოგახსენებთ, რომ მეტალურგიის სფეროში, მათ შორის თმს პროცესში გამოყენებული ლითონური და არალითონური ფხვნილები, ისევე, როგორც სააღმშენებლო მასალები (ცემენტი, ქვიშა, ღორღი) მრავალი სასოფლო-სმეურნეო და საკვები პროდუქტი (ხორბალი, ბრინჯი, ლობიო, შაქრის ფხვნილი, ბურღულეული და ა.შ.) წარმოადგენენ ბნევად არეებს. ზოგადად, ასეთი ობიექტების კვლევა ბნევადი არეების მექანიკის საგანია. თუ ამ საკითხს სტრუქტურული თვალსაზრისით განვიხილავთ, აღმოვაჩენთ, რომ ბუნებაში მატერია გვხვდება უმეტესად ან კრისტალური, ანუ მოწესრიგებული სტრუქტურის სახით (მრავალრიცხოვანი მინერალები, ლითონები და მათი შენადნობები), ან მოუწესრიგებელი, არარეგულარული სუბსტანციების სახით (ბნევადი არეები, სითხეები, ამორფული მასალები). ამავე დროს ვერავინ მიაკუთვნებს უპირატესობას რომელიმე მათგანს.

 

1. ბნევადი არე (არარეგულარული მონოფრაქციული სტრუქტურა)
ბნევადი არის ყველაზე მკაფიო, თვალსაჩინო მაკროსკოპული მახასიათებელი, რომელიც იძლევა ნაწილაკების სივრცითი ურთიერთ განაწილების ინტეგრალურ სურათს, არის შევსების სიმკვრივის კოეფიციენტი. იგი განისაზღვრება, როგორც ნაწილაკების ჯამური მოცულობის ფარდობა, სისტემის სრულ მოცულობასთან:

 

 

ბნევადი არეების სიმკვრივის კოეფიციენტის პრობლემა ერთ-ერთი უძველესია. ჯერ კიდევ ძველმა ეგვიპტელებმა იცოდნენ, რომ ერთი ფრაქციის მასალით შევსებული დიდი მოცულობის (V>>d3) მინიმალური ხალვათობა არ არის დამოკიდებული ნაწილაკის ზომებზე (d), მუდმივია და შეადგენს:


H=1-K=0,36 ,

 

ხოლო სხვადასხვა ზომების ნაწილაკების შერევა K-ს ზრდას იწვევს. Bბნევადი არეებისათვის K დადგენა, მონოფრაქციული სისტემებისათვისაც კი, რომლის მნიშვნელობაც (K=0,64) არაერთგზისაა ექსპერიმენტულად დადასტურებული, ზუსტ ანალიტიურ აღწერს არ ემორჩილება.

 

სტრუქტურა, ანუ ნაწილაკების სივრცული განაწილება მნიშვნელოვანწილად განსაზღვრავს მატერიის თვისებებს. კრისტალური აღნაგობის მიკროსკოპული სურათის წარმოსადგენად შემუშავებულია მესერის მოდელი, რომელიც იყენებს ჯგუფთა მათემატიკური თეორიის მიღწევებს და ემყარება ბრავეს, ფიოდოროვისა და სხვა ცნობილ კრისტალოგრაფთა გამოკვლევებს.

 

რა იგულისხმება ბნევადი არის სტრუქტურაში, როგორ დავახასიათოთ მოუწესრიგებელი სისტემის შინაგანი კონფიგურაცია? საკითხი რთულია და თხოულობს სპეციალურ განხილვას.

 

მოუწესრიგებელი სტრუქტურის ახლო რიგის აღწერისათვის შემოთავაზებული მოდელები, როგორც წესი, იყენებენ ორ სტრუქტურულ კონცეფციას: კვაზიკრისტალურ მიახლოვებასა და ბერნალის გეომეტრიულ მოდელს. პირველი მოუწესრიგებელ მდგომარეობაში დასაშვებად მიიჩნევს კრისტალისათვის დამახასიათებელი სტრუქტურული ფრაგმენტების არსებობას. ბერნალის მიხედვით მოუწესრიგებელი სტრუქტურა რადიკალურად განსხვავდება მესერული წყობისაგან, ვინაიდან სივრცეში ნაწილაკების არარეგულარული განლაგებისათვის დამახასიათებელი V რიგის სიმეტრია კატეგორიულად აკრძალულია კრისტალისათვის [5,6].

 

მატერიის აღნაგობის ატომისტური მოდელი ფრთოდ იყენებს ხისტი სფეროების მიახლოებას, რომლის თანახმადაც ატომები წარმოდგენილია მატერიალური სფეროების სახით. სფერული მიახლოება ერთნაირი წარმატებით გამოიყენება როგორც რეგულარული, ასევე არარეგულარული სისტემების დემონსტრირებისათვის. ჩვენს მსჯელობაში გამოყენებულია ბნევადი არეების უმარტივესი მოდელი, რომლის თანახმადაც მხედველობაში არ მიიღება მარცვლების მორფოლოგიური თავისებურებანი – ისინი წარმოდგენილია სფერული ბურთულების სახით.

 

განვიხილოთ მატერიალური სფეროებით სივრცის მაქსიმალურად შევსების პრობლემა. როგორც ცნობილია, სფეროების რეგულარული დალაგება ხასიათდება II, III, IV და VI რიგის სიმეტრიის ღერძების მქონე კრისტალური ფორმებით. სივრცის უმკვრივესი შევსება  მიიღწევა იმ შემთხვევაში, თუ სფეროები დალაგებულია წახნაგდაცენტრებული კუბის (ГЦК) ან მკვრივი ჰეგსაგონალური (ГПУ) სტრუქტურის სახით. სტრუქტურა მიიღება მკვრივად შევსებული ფენების ერთმანეთზე განლაგებით, რომელთაგან თვითეული ფენა ფიჭისებურად არის შევსებული ცენტრალური სფეროს ირგვლივ ექვსი მეზობელი სფეროს სახით. ამგვარად, უმკვრივესი რეგულარული ჩალაგების დროს თვითეული სფერო ეხება 12 მის მეზობელს. აქვე შეგახსენებთ, რომ ეს არის იოჰან კეპლერის ჰიპოტეზა, რომელიც მან ჯერ კიდევ მე-17 საუკუნეში შემდეგნაირად ჩამოაყალიბა: სივრცის მაქსიმალურად შევსება მატერიალური სფეროებით შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, როცა ყოველი სფერო ეხება 12 თავის მეზობელს. კეპლერის ეს მოსაზრება, რომელიც ყველა ჩვენთაგანისათვის აქსიომას წარმოადგენს და ჩვენ ყოველგვარი ეჭვის გარეშე ყოველდღიურ საქმიანობაში ვიყენებთ მას, მათემატიკოსებისათვის ჯერ კიდევ ჰიპოტეზად არის მიჩნეული, რადგან პიერ ფერმას დიდი თეორემის მსგავსად, მასაც არ გააჩნია მკაცრი მათემატიკური მტკიცებულება.

 

მაგრამ ეს არ არის სფეროების განლაგების ერთადერთი ლოკალური კომბინაცია: 12 სფერო შეიძლება განთავსდეს ცენტრალურის ირგვლივ, თუ ისინი მოთავსებილია იკოსაედრის წვეროებში. ამგვარი მრავალწახნაგა ხასიათდება მეხუთე რიგის სიმეტრიით, მისი ტრანსლაციით ვერ შეივსება სივრცე ღრეჭოებისა და გადაფარვების გარეშე, მსგავსად იმისა, რომ შეუძლებელია სიბრტყის დაფარვა სწორი ხუთხკუთხედებით. მაგრამ სტატისტიკური თვალსაზრისით იკოსაედრის ტიპის ფორმები წარმოიქმნებიან მონოდისპერსულ არარეგულარულ, ქაოტიურ სტრუქტურაში, რომელსაც რეგულარული წყობისაგან განსხვავებით ახასიათებს V რიგის სიმეტრია. ეს ბერნალის პრინციპია, რომელიც შეიძლება ჩამოვაყალიბოთ შემდეგნაირად: ქაოტური (არარეგულარული) და კრისტალური (რეგულარული) წყობა წარმოადგენს ერთნაირი სფეროებით სივრცის შევსების ორ ალტერნატულ ფორმას.

 

ვიდრე ამ თეზისის სამართლიანობაზე ვიმსჯელებდეთ უპრიანია სივრცის დაყოფის საკითხი განვიხილოთ. ეს ამოცანა გულისხმობს სივრცეში განთავსებულ წერტილებზე მოსული მოცულობის დადგენას და სრულიად ზოგადი სახით დირიხლეს მიერაა დასმული. ორგანზომილებიან ამოცანაში (სურ.1.1) ადვილად მტკიცდება, რომ ფრანკ-კასპერის მრავალკუთხედების გვერდების რიცხვი არ აღემატება 6 თუ სიბრტყეზე შემთხვევით განთვსებულ წერტილთა შორის მანძილები არა უმეტეს 0,05 განსხვავდებიან [7].

 

 

სურ. 1.1. ფრანკ -კასპერის მრავალკუთხედები რეგულარული (а) და არარეგულარული (б) ორგანზომილებიანი მოდელისათვის


ამ სურათის მიხედვით მოცემულ წერტილზე მოსული ფართი განისაზღვრება მის უახლოეს წერტილებთან შემაერთებელი მონაკვეთების შუაში გავლებული მართობების მიერ შექმნილი მრავალკუთხედით. ამოცანა ტრივიალურია, რადგან პირობის თანახმად სიბრტყის ის ნაწილი, რომელიც მონაკვეთის ერთ მხარესაა ერთ წერტილს მიეკუთვნება, ხოლო მეორე მის მოპირდაპირე წერტილს. 


როგორ განისაზღვრება სივრცობრივ სტრუქტურაში მოცემულ წერტილზე მოსული მოცულობა?


წახნაგდაცენტრებულ კუბურ სტრუქტურაში (ГЦК) ყველა სფერო შეხებაშია 12 უახლოეს მეზობელთან. თუ ასეთ სტრუქტურაში ნებისმიერი ნაწილაკის ცენტრს შევაერთებთ უახლოესი მეზობელი ნაწილაკების ცენტრებთან, მივიღებთ თორმეტ წვეროიან (m=12) თოთხმეტწახნაგა სხეულს (n=14), ოცდაოთხი წიბოთი (l=24) კუბოოქტაედრის სახით (სურ. 1.2 a).

 

 

სურ. 1.2. ატომების უახლოესი გარემოცვა წახნაგდაცენტრებული კუბის (ГЦК) მესერში (კუბოოქტაედრი) (a) და შესაბამისი ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედი რომბოდოდეკაედრი (b)

 

რეგულარულ მესერში ყოველთვის შეიძლება შეირჩეს ისეთი პრიმიტიული უჯრედი, რომელსაც გააჩნია ბრავეს სიმეტრია. ასეთია ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედი, რომელიც აიგება მესერის ნებისმიერ წერტილის მის უალოეს წერტილებთან შემაერთებელი რადიუს-ვექტორების შუაში გავლებული სიბრტყეებით (სურ. 1.2b). Aამ პროცედურის შედეგად მრავალწახნაგას სახით მიღებული ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედი განსაზღვრავს სივრცის იმ ნაწილს, რომლის ყველა წერტილი უფრო ახლოსაა ცენტრალურთან, ვიდრე მესერის სხვა წერტილები. წახნაგდაცენტრებული კუბის შემთხვევაში ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედი რომბოდოდეკაედრს წარმოადგენს, მოცულობადაცენტრებული კუბისათვის – წაკვეთილ ოტაედრს და ა.შ. ასეთი მრავალწახნაგას ტრანსლაციით შეიძლება შევავსოთ სივრცე ღრეჭოებისა და გადაფარვების გარეშე. ამიტომ კრისტალი განიხილება, როგორც ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედების რეგულარული ანსამბლი. ცნობილია, თუ რა დიდი მნიშვნელობა აქვს ამ უჯრედის გეომეტრიას მყარ სხეულებში ბრიულენის ზონების, ფერმის ელექტრონული გაზის განაწილების და სხვა ფიზიკური ფენომენების შესასწავლად. მაგრამ ეს საკითხები სცილდება ჩვენი მოხსენების თემას და ჩვენ ისევ სივრცის დაყოფის საკითხს დაუბრუნდებით, სივრცეში წერტილების არარეგულარული განლაგების დროს.


ნაწილაკების მოუწესრიგებელი, შემთხვევითი ერთობლიობისათვის, როცა მესერის პერიოდულობა მთლიანად დარღვეულია, ზემოთ აღწერილი ვიგნერ-ზეიტცის უჯრედის აგების მსგავსი პროცედურა გვაძლევს ვორონოის პოლიედრს. ცხადია ვორონოის პოლიედრები არარეგულარულია, არაიდენტურია და არ გააჩნიათ ბრავეს სიმეტრია. ასეთი სტრუქტურის კოორდინაცია ვერ დახასიათდება მუდმივი სიდიდით, როგორც ეს რეგულარულ შემთხვევაშია. რეგულარულ სტრუქტურისაგან განსხვავებით, სადაც კოორდინაცია ხორციელდება ფიზიკურად კონტაქტში მყოფი სფეროებით, არარეგულარულ შემთხვევაში უახლოეს კოორდინაციაში მონაწილეობენ როგორც ფიზიკური ისე გეომეტრიული მეზობლები. ამის გამო მოსალოდნელია რომ საკორდინაციო რიცხვი 12 გადააჭარბებს.


ოთხი სფეროს ყველაზე კომპაქტური განლაგება განხორციელდება იმ შემთხვევაში, როცა მათი ცენტრები მოთავსებულია სწორი ტეტრაედრის წვეროებში. მაგრამ სწორი ტეტრაედრებით სივრცის შევსება შეუძლებელია. ამ ფაქტს გააჩნია ზოგადი მათემატიკური მტკიცებულება კოქსიტერის თეორემის სახით [8], რომლის თანახმადაც სამგანზომილებიანი სივრცე შეიძლება შეივსოს უსასრულოდ {p,q,i} უჯრედებით, მხოლოდ იმ შემთხვევაში თუ განტოლებას.

 

აქვს ამონახსნი მთელ რიცხვებში q >2; p >2; i >2.
აქ p – წახნაგების გვერდების რაოდენობაა,
q – წვეროში მოსაზღვრე წახნაგების რიცხვია,
i – საერთო წახნაგის ირგვლივ თავმოყრილ უჯრედების რიცხვი.


პირობას q >2; p >2; i >2 აკმაყოფილებს მხოლოდ უსასრულო უჯრედები {4,3,4}, რომლებიც ხორციელდება კუბური {4,3} უჯრედების შემთხვევაში, როცა ყოველ წიბოს ირგვლივ განთავსებულია 4 უჯრედი. ყველა სხვა შემთხვევაში (1.2) განტოლებას არ აქვს მთელრიცხვიანი ამონახსნი. მაგრამ, თუ გავითვალისწინებთ, რომ შემთხვევით სტრუქტურაში უჯრედები მიისწრაფიან {p,3,3} კონფიგურაციისაკენ, მაშინ შეიძლება სტატისტიკური თვალსაზრისით შევაფასოთ p არამთელრიცხვიანი მნიშვნელობისათვის.


მართლაც, ვთქვათ q = i = 3, მაშინ (1.2) თანახმად p=180/35,3=5,1, რაც ეილერის ფორმულის მიხედვით განსაზღვრავს წახნაგების რიცხვს  და წვეროების რაოდენობას 


რასაკვირველია, ასეთი მრავალწახნაგა ბუნებაში არ არსებობს, რადგან მრავალწახნაგას ახასიათებს წვეროების, წახნაგებისა და წიბოების მთელღიცხვიანი ერთობლიობა. მაგრამ ეს შეფასება მიუთითებს იმაზე, რომ არარეგულარულ სტრუქტურაში ვორონოის პოლიედრები მეტწილად წარმოდგენილი არიან ხუთგვერდა წახნაგიანი (m=5,1) თორმეტწახნაგა (n=13,3) სხეულების სახით.


ექსპერიმენტულად ეს ამოცანა შესწავლილია მონოფრაქციული სტატისტიკური ნარევის ყოველმხრივი შეკუმშვის პირობებში. თუ სფერული ნაწილაკები შესრულებულია პლასტიკური მასალით, მაგალითად ტყვიისა ან პლასტილინისაგან, მაშინ ნარევის ყოველმხრივი შეკუმშვის შედეგად გაქრება ნაწილაკთა შორის სიცარიელეები და სფეროები გადაიქცევიან n – მრავალწახნაგებად (სურ. 1.3).


პირველი ასეთი ცდა ინგლისელ ხეილსს ჩაუტარებია 1727 წელს [9]. მან აღმოაჩინა, რომ მუხუდოს ნარევის შეკუმშვის შედეგად სფეროები გადაიქცნენ დოდეკაედრების მსგავს მრავალწახნაგებად. რასაკვირველია, ისინი ვერ იქნებოდნენ წესიერი დოდეკაედრები. სწორი დოდეკაედრების საერთო წიბოსთან შეუღლების დროს წახნაგებს შორის კუთხე 116o შეადგენს და ამდენად ისინი ვერ შეავსებენ სივრცეს ღრეჭოების გარეშე. მაგრამ დოდეკაედრის მცირედი დამახინჯებისა და p=5 – საგან განსხვავებული წახნაგების წარმოქმნით შეიძლება სივრცის შევსება. ვორონოის პოლიედრების დეტალურმა სტატისტიკურმა ანალიზმა გვაჩვენა, რომ უპირატესად წარმოიქმნება 13,5 წახნაგიანი კონფიგურაციები, ხოლო წახნაგების დიდი უმრავლესობა ხუთკუთხედებითაა წარმოდგენილი.

 

 


სურ. 1.3. ვორონოის პოლიედრები

 

აქედან შეიძლება გავეკეთოთ ერთმნიშველოვანი დასკვნა: სტატისტიკურ ნარევში ნაწილაკები სივრცულად განაწილებული არიან იკოსაედრულ კონფიგურაციებში. ამ დასკვნის საფუძველია იკოსაედრისა და დოდეკაედრის ორადობა.

 

 

 

გამოყენებული ლიტერატურა

1. Д.Хантадзе (2009). Структурные модели и свойства металлических расплавов. Тбилиси: Форма, 2009, 160 с.
2. Тавадзе Г.Ф., Штейнберг А.С. Получение специальных материалов методами самораспространяющегося высокотемпературного синтеза. Тбилиси, Издательство «Меридиани», 2011, 206с.
3. Giorgi F. Tavadze, Alexander S. Shteinberg. Production of Advanced Materials by Methods of Self-Propagating High-Temperature Synthesis. Springer, 2013, 156p
4. Займан Дж. Модели беспорядка. - М.: Мир, 1982, 592с.
5. Бернал Дж. Д. О роли геометрических факторов в структуре материи. - Кристаллография. -1962, 7, №4, с. 506-519.
6. Бернал Дж. Д. О структуре жидкости. - В кн.: Рост крисстфллов; Доклады 3- го Московского совещания по росту кристфллов. М.: Наука, 1965,с. 149-162.
7. Каспер Д.С. Атомное и магнитное упорядочение в структуре переходных метал¬лов. – В кн.: Теория фаз в сплавах. - М.: Металлургиздат, I96l, С. 920-337.
8. Кокстер Г. Введение в геометрию. - М.: Наука, 1966. 648 с.

 

 

22-07-2015    ნანახია: 1 450-ჯერ