სსიპ - ფერდინანდ თავაძის მეტალურგიისა და მასალათმცოდნეობის ინსტიტუტი
LEPL - FERDINAND TAVADZE METALLURGY AND MATERIALS SCIENCE INSTITUTE
ბნევადი არე (არარეგულარული ბიფრაქციული სტრუქტურა)

ჯუმბერ ხანთაძე

ახლა გავართულოთ საკითხი და შევეცადოთ სფერული ნაწილაკების ბიფრაქციული, ანუ ორი ზომის სფეროების ნარევის თვისებები აღვწეროთ. ბინარული ნარევის ხალვათობის მინიმუმი მიიღწევა, როცა ნაწილაკების დიამეტრების ფარდობა D/d→∞. ასეთ შემთხვევაში დიდ ნაწილაკებს შორის ფორები პატარა ნაწილაკებისათვის დიდი ჭურჭლის როლს ასრულებს და ზღვარში მთლიანი სისტემის ხალვთობა H=0,36۰0,36=0,13, ანუ ზომებში ძლიერ განსხვავებული ნაწილაკების ორკომპონენტიანი ნარევის სიმკვრივის კოეფიციენტი მიაღწევს K=0,87 დიდი ნაწილაკების 74 მოცულობითი პროცენტის დროს.


ზომებში მცირედ განსხვავებული ნაწილაკების შემთხვევაში ჩალაგების კოეფიციენტის ცვლილება მოკლებულია ასეთ თვალსაჩინოებას. პერკუს-იევიკის თეორიაში ნაგულისხმევია ნარევის შემკვრივება, მგრამ თეორია არ იძლევა მისი რიცხობრივად შეფასების საშუალებას. ლიტერატურაში არსებული ექსპერიმენტული მონაცემები მიღებულია არაკალიბრებულ ბნევად არეებზე დაკვირვების შედეგად, ხშირად არასფერული ნაწილაკებისათვის და ამიტომ მათ არ გააჩნიათ მაღალი თეორიული ღირებულება.


მათგან განსხვავებით ჩვენ შევისწავლეთ K–ს ფრაქციულ-კონცენტრაციული დამოკიდებულება ნარევებში, რომელთა კომპონენტებია ბურთულა საკისრებში გამოყენებული სხვადასხვა ზომის ფოლადის ბურთულები. მიღებული შედეგები [1] გვიჩვენებს, რომ დიამეტრების ფარდობის (D/d) ზრდა იწვევს K–ს მუდმივ ზრდას, რომელიც, როგორც მოსალოდნელი იყო, ასიმპტოტურად მიისწრაფის K=0,87 (სურ. 2.1).

 

 

სურ. 2.1.  ორკომპონენტიან ნარევის ჩალაგების კოეფიციენტის

             კონცენტრაციულ-ფრაქციული დამოკიდებულება

ბიფრაქციული ნარევის შინაგანი კონფიგურაციის შესასწავლად გამოყენებული იყო ზემოთ აღწერილი ვორონოის პოლიედრების მეთოდი. იმისათვის, რომ გავარკვიოდ ბიფრაქციული ნარევის ძირითადი სტრუქტურული მოტივები პირველ რიგში პასუხი უნდა გავცეთ კითხვას: რა რაოდენობის d დიამეტრის ნაწილაკი შეიძლება ერთდროულად ეხებოდეს D დიამეტრის სფეროს მოცემული D/d თანაფარდობის დროს. აპრიორი შეიძლება ვთქვათ, რომ D/d გაზრდა გამოიწვევს Z-ის ნახტომისებურ ზრდას, ვინაიდან ყოველი ოპტიმალური კონფიგურაცია მდგრადია D/d გარკვეული დისკრეტული მნიშვნელობისათვის. მართლაც, ვთქვათ გვაქვს ოპტიმალური კონფიგურაცია რომელიღაც D/d მნიშვნელობის დროს, როცა ცენტრალურ D სფეროს ერთდროულად ეხება მაქსიმალური რაოდენობის d ნაწილაკი. ცხადია, ახალი, დამატებითი ნაწილაკის ასეთ კონფიგურაციაში მოსათავსებლად, იმ პირობით, რომ იგი შეეხება ცენტრალურს, D/d უნდა გავზარდოთ ახალ დისკრეტულ მნიშვნელობმდე.

 

ამგვარ კოლონიაში პერიფერიული ნაწილაკების რაოდენობა, ანუ საკორდინაციო რიცხვი Z შეიძლება შევაფასოთ შემდეგი მსჯელობის საფუძველზე: მაქსიმალური Z  მიიღწევა, როცა d ნაწილაკები ფიჭისებურად დალაგდებიან ცენტრალურ D  სფეროს ზედაპირზე. ეს სიტუაცია განხორციელდება D>>d პირობებში. მაშინ  შეიძლება შეფასდეს როგორც  სფერული ზედაპირის ფარდობა d  წრეწირზე შემოხაზულ ექვსკუთხედის ფართთან. Z ფაქტიური მნიშვნელობა ყოველთვის ნაკლებია ამგვარად გამოთვლილ სიდიდეზე და ამიტომ შეფასება ზემოდან შეიძლება გამოვსახოთ შემდეგი უტოლობით [2]:

 

 

D/d ზრდის პროცესში ნაწილაკების ცენტრები წარმოქმნიან მრავალფეროვან ამოზნექილ მრავალწახნაგებს. მათი განხილვის დროს ადვილად დავრწმუნდებით, რომ ყველაზე მჭიდროდ ჩალაგებული ლოკალური ელემენტები სამკუთხა წახნაგებია, ხოლო ყველაზე ხალვათი კვადრატული. აქედან გამომდინარე ქვემოდან შეფასებისათვის შეიძლება დაუშვათ, რომ ნაწილაკები კვადრატულად ფარავენ ცენტრალურ სფეროს, ანუ ნაწილაკების ცენტრები ქმნიან {4,4} გადაგვარებულ მრავალწახნაგას უსასრულო ოთხკუთხა წახნაგებით. ასეთ შემთხვევაში  და ნაწილაკების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც უშუალოდ ეხება ცენტრალურ სფეროს შეიძლება შეფასდეს შემდეგი უტოლობით:       

აქვე უნდა შევნიშნოთ, რომ ეს შეფასება 4% სიზუსტით ემთხვევა ამ საკითხზე ხანგრძლივი დისკუსიის შედეგად მიღებულ დასკვნას [3-7], რომელიც მანქანურ გამოთვლებზეა დამყარებული (სურ. 2.2).


ახლა დავსვათ შემდეგი საკითხი: ვორონოის როგორი პოლიედრები წარმოიქმნება მაქსიმალურ კონფიგურაციებში და რა კავშირში არიან ისინი სტატისტიკურ ნარევში ცენტრალური ნაწილაკის მიერ წარმოქმნილ პოლიედრთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ერთის მხრივ ჩვენ უნდა ავაგოთ ვორონოის პოლიედრი ექსტრემალური კონფიგურაციისათვის, როცა D სფერო კონტაქტშია მაქსიმალური რაოდენობის d ნაწილაკთან, მეორეს მხრივ უნდა შევისწავლოთ არარეგულარულ ნარევში D/d ფარდობის სხვადასხვა მნიშვნელობისათვის წარმოქმნილი მრავალწახნაგების სტსტისტიკური თვისებები.

 

 

სურ. 2.2. საკორდინაციო რიცხვის ცვლილება  D/d  ფარდობის მიხედვით.

            ნათელი რგოლები –ლიტერატურული მონაცემები [3];

            შავი რგოლები – ექსპერიმენტი;

            ჯვარი – არარეგულარული შემთხვევა;

            1, 2 – შეფასება (2.2) უტოლობის მიხედვით.

პირველ კითხვაზე ზუსტ ანალიტიკურ პასუხს გვაძლევს განლაგების თეორია [8], რომელიც ემსახურება ზოგად ამოცანას: როგორ განვალაგოთ სფეროს ზედაპირზე Z წერტილი იმგვარად, რომ კუთხური მანძილები dz წერტილებს შორის იყოს მაქსიმალური.


სფეროზე განლაგებული წერტილების დიდი წრის რკალებით წყვილ-წყვილად შეერთება გვაძლევს სფერულ ბადეს, რომელიც ყოფს სფერულ ზედაპირს სასრულო რაოდენობის სფერულ მრავალკუთხედებად, იმგვარად რომ ყველა წვეროში იკრიბება მინიმუმ სამი სფერული მრავალკუთხედი. ბადე იზოგონალურია, თუ კუთხეები ბადის წვეროებში, ანუ სფერული მრავალწახნაგას ყველა სივრცითი კუთხე ტოლია. იზოგონალურ ბადეებს იძლევა სწორი მრავალწახნაგები. ყველა სხვა შემთხვევაში წარმოიქმნება არაიზოგონლური ბადეები [9].


ჩვენი ინტუიცია ყოველთვის ვერ გვკარნახობს სწორად განვსაზღვროთ მაქსიმალური კონფიგურაცია. მაგალითად, 8 წერტილი, რომელთა შორის ევკლიდეს მანძილი d-ს ტოლია, შეიძლება განვათავსოდ სფეროში ჩაწერილი ჰექსაედრის წვეროებში. მაგრამ ეს არ არის მაქსიმალური ფიგურა. უმცირესი მანძილი მოცემული 8 წერტილისათვის მიიღწევა იმ შემთხვევაში, თუ ისინი განლაგებულია სფეროში ჩაწერილი ნახევრად სწორი მრავალწახნაგას–არქიმედის ანტიპრიზმის წვეროებში.

ასეთი მრავალწახნაგა შემოსაზღვრულია 2 კვადრატითა და 8 სწორი სმკუთხედით და შლეფლისის აღნიშვნებით ამგვარად ჩაიწერება {3,3,3,4}, რაც იმას ნიშნავს, რომ მრავალწახნაგას ყველა წვეროში გარკვეული ციკლურობით თავს იყრიან (i) – კუთხედი, (j) – კუთხედი, (k) – კუთხედი და ა.შ. (სურ. 2.3). ასეთ კომბინაციაში 8 პერიფერიული სფერო ერთდროულად ეხება ცენტრალურს D/d=0,644 მნიშვნელობის დროს, ნაცვლად D/d=0,732 სფეროების კუბური წყობის შემთხვევაში. აი კიდევ ერთი მაგალითი: ცენტრალური სფერო ერთდროულად ანხორციელებს კონტაქტს თავის 12 თანატოლთან თუ ისინი განთავსებულია კუბოოქტაედრის წვეროებში (სურ. 1.2a წახნაგდცენტრებული კუბური სტრუქტურა), მაგრამ როგორც ზემოთ ავღნიშნეთ სფეროების იკოსაედრული განლაგება უფრო ეკონომიურია, ვინაიდან 12 d–დიამეტრის სფერო შეხებაში მოდის მეცამეტე, ცენტრალურთან D/d=0,902 ფარდობის დროს. ამგვარად, მაქსიმალურ ფიგურას იძლევა მხოლოდ სამი სწორი მრავალწახნაგა: ტეტრაედრი (Z=4), ოქტაედრი (Z=6) და იკოსაედრი (Z=12). სხვა შემთხვევაში საქმე გვაქვს არასწორ, არაიზოგონალურ სფერულ ბადეებთან, რომელთა ელემენტები არასწორი სფერული მრავალკუთხედებია.

 

სურ. 2.3. არქიმედეს ანტიპრიზმა (8,2) და მისი შესაბამისი გრაფი შლეგელის დიაგრამის სახით

 

 

 მათემატიკის ამ ტიპის ამოცანები გილბერტმა [10] თვალსაჩინო გეომეტრიის ცნებაში გააერთიანა შემდეგი ნიშნით: ყველა თეორემა ელემენტარულად ყალიბდება, მაგრამ მისი დამტკიცება მეტად რთულ ოპერაციებს მოითხოვს, ხოლო ხშირ შემთხვევებში ვერ მტკიცდება. ჩვენი ამოცანის ფარგლებშიც არა ყველა Z-თვის არის მიღებული ზუსტი ანალიტიკური მტკიცებულება. ჩვენ გამოვიყენეთ ტოტის [8] და სხვა ავტორების [11-16] რეზულტატები Z=4, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 24, 32-თვის. ეს მონაცემეში საშუალებას გვაძლევს განვსაზღვროთ D სფეროს მინიმალური რადიუსი, რომელზედაც განთავსდება Z წარტილების მაქსიმალური რაოდენობა, რომელთა შორის ევკლიდეს მანძილი ერთეულის ტოლია. Rz და კუთხური მანძილი წერტილებს შორის az გამოისახება შემდეგი თანაფარდობით:


ეს მონაცემები წარმოდგენილია ცხრილში 2.1, რომელიც საშუალებას გვაძლევს მოცემულ D/d ფარდობისათვის განვსაზღვროთ მაქსიმალური კონფიგურაციისათვის. მაგრამ Z –ის გარდა ჩვენ გვაინტერესებს წერტილების სივრცული განლაგების ის დეტალებიც, რომელიც მაქსიმალურ კოორდინაციას ახასიათებს. ამისათვის მეტედ მოსახერხებელია სფერული ბადეების შლეგელის გრაფის სახით წარმოდგენა. ეს უკანასკნელი სქემატურად გვიჩვენებს წერტილებისა და სფერული მრავალკუთხედების ურთიერთგანლაგებას სიბრტყეზე (სურ. 2.3).

 

 

ცხრილი 2.1
კუთხური მანძილი წერტილებს შორის (az), უმცირესი სფეროს რადიუსი (Rz), რომელზეც განთავსდება (Z) წერტილი და (D/d) შესაბამისი მნიშვნელობა

 

Z

 az

Rz

(D/d)

3

120º

0,577

0,154

4

109º 28′ 16″

0,612

0,224

6

90º

0,707

0,414

7

77º 51′ 58″ [8]

0,795

0,590

8

74º 52′ 10″

0,822

0,644

9

70º 31′ 44″ [8]

0,866

0,732

10

66º 19′

0,916

0,832

 

69º 33′ 42″ [8]

0,977

0,954

12

63º 26′ 06″

0,951

0,902

13

57º 08′

1,045

1,090

 

60º 55′ 11″ [8]

0,986

0,972

14

55º 40′

1,071

1,142

 

58º 40′ 51″ [8]

1,020

1,040

15

53º 39′

1,007

1,194

 

56º 40′ 01″ [8]

1,054

1,108

16

52º 14′

1,135

1,270

 

54º 51′ 19″ [8]

1,086

1,172

18

49º 33′ [13]

1,193

1,387

19

47º 40′ 33″ [14]

1,237

1,474

24

43º 41′ [15]

1,343

1,686

32

37º 22′ 

1,560

2,120

33

35º 22′ [16]

1,646

2,292

 

სფერულ ბადეს აბსტრაქტულ მრავალწახნაგას უწოდებენ [9]. არა ყველა სფერული ბადე რეალიზდება ნამდვილი მრავალწახნაგას სახით. ეს ხდება იმიტომ, რომ სფერული ბადე გარდა სფერული სამკუთხა და კვადრატული ელემენტებისა შეიცავს სხვა ელემენტებსაც – სფერული რომბის, სფერული ხუთკუთხედის და სხვათა სახით, რომელთა წვეროები, როგორც წესი, არ მდებარეობენ ერთ სიბრტყეში. ასეთ შემთხვევაში სფერული ბადის შესაბამისი რეალური მრავალწახნაგას აგება, იგივე ბმულების შენარჩუნებით ვერ ხერხდება. ამ სირთულის თავიდან ასაცილებლად საჭიროა ე.წ. მეორე რიგის დამატების პროცედურა, რაც გულისხმობს სფერული მრავალკუთხედების დიაგონალებით დაყოფას [9].


ცხრილი 2.2
ვორონოის პოლიედრების მახასიათებლები სხვადასხვა ზომის ნაწილაკების არერეგულარულ სისტემაში

 

D/d  

   

P

ί – კუთხა წახნგების ფარდობითი წილი

 

n3

n4

n5

n6

n7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0,414

5,9

0,11

20

0,09

0,85

0,06

 

 

3,97

0,591

7,8

0,21

20

0,06

0,62

0,27

0,05

 

4,31

0,645

8,5

0,23

18

0,06

0,49

0,40

0,05

 

4,44

0,732

9,5

0,15

26

0,07

0,43

0,42

0,08

 

4,51

0,832

11,1

0,23

24

0,04

0,34

0,50

0,12

 

4,70

0,902

12,5

0,25

20

0,02

0,30

0,45

0,23

 

4,89

0,923

12,5

0,20

23

0,04

0,28

0,45

0,20

 

4,84

1,00

13,6

0,22

25

0,04

0,27

0,50

0,18

0,01

4,85

1,001

15,7

0,30

25

0,03

0,20

0,53

0,23

0,01

4,99

1,142

16,4

0,21

18

0,03

0,16

0,55

0,26

 

5,04

1,216

18,1

0,29

25

0,03

0,15

0,51

0,29

0,02

5,12

1,272

18,9

0,24

23

0,02

0,16

0,47

0,32

0,03

5,18

1,386

21,0

0,37

20

0,02

0,14

0,45

0,35

0,04

5,25

1,474

22,0

0,19

16

0,02

0,14

0,43

0,35

0,06

5,29

1,635

25,5

0,26

18

0,02

0,13

0,40

0,40

0,05

5,33

1,688

27,1

0,48

16

0,03

0,11

0,39

0,41

0,06

5,36

2,032

33,6

0,30

16

0,02

0,10

0,32

0,52

0,04

5,46

2,122

36,2

0,25

15

0,02

0,09

0,26

0,54

0,09

5,59

2,702

49,0

0,50

7

 

0,10

0,16

0,68

0,06

5,70

 

ამ დროს სფერული არეების რიხვი (n) და ბადის სფერული გვერდების რიცხვი l ერთით იზრდება Z კვანძების მუდმივობის პირობებში, რაც არ ცვლის ეილერის მუდმივას (Z+n-l=2).
ყველა ამ ნიუანსის გათვალისწინებით ცხრილში 2.1 მოყვანილი Z მნიშვნელობებისათვის ქვემოთ აგებულია გრაფები, მათი შესაბამისი მრავალწახნაგები, ორადი ვორონოის პოლიედრები და მათი განფენა (სურ. 2.4-2.12).

 

 

სურ. 2.4.  გრაფი Z=7 (a), შესაბამისი მრავალწახნაგა ⟨10,0⟩ (б) და მისი ორადი ვორონოის პოლიედრი  ⟨1,3,3⟩  (в)

 

 

სურ. 2.5.   Z=9. გრაფი  (a), შესაბამისი მრავალწახნაგა ⟨14,0⟩ (б)  და ვორონოის პოლიედრი ⟨0,3,6⟩  (в)

 

 

 

სურ. 2.6. Z=10. გრაფი (а) და შესაბამისი ვორონოის პოლიედრი ⟨0,6,4⟩ (в)

 

 


სურ. 2.7. Z=13. გრაფი (а), შესაბამისი ვორონოის პოლიედრი ⟨0,5,4,4⟩ (в) და მისი განფენა ⟨20,1⟩ (б)

 

 

 

სურ. 2.8. Z=14. გრაფი (а), შესაბამისი ნამდვილი მრავალწახნაგა ⟨24,0⟩ (б), განფენა (г) და ვორონოის პოლიედრი ⟨0,0,12,2⟩ (в)

 

 


სურ. 2.9. Z=15. გრაფი (а), ექსტრემალური ⟨26,0⟩ (б),  მრავალწახნაგა ⟨24,0⟩ (б), მისი განფენა (г) და ვორონოის უჯრედი ⟨0,0,12,3⟩ (в)

 

 

 

სურ. 2.10. Z=16. გრაფი (а), ექსტრემალური მრავალწახნაგას განფენა (б) და ვორონოის უჯრედი ⟨0,0,16⟩ (в)

 

 

სურ. 2.11. ოცდაოთხწვერიანი ნახევრადსწორი არქიმედეს მრავალწახნაგა {3,3,3,3,4} (а) და მისი ორადი თანაბარწახნაგა ნახევრად სწორი პოლიედრი ⟨0,0,24 ⟩ (б)

 

 

სურ. 2.12. Z=32. გრაფი (а), მისი შესაბამისი მრავალწახნაგას განფენა (б) და ვორონოის პოლიედრი ⟨0,0,12,20⟩ (в)

 

ამ კონფიგურაციების აგების დეტალებზე აღარ შევჩერდები, ისინი განხილულია ჩემს წიგნში [19]. თვალსაჩინოებისათვის მე გავაკეთე რამდენიმე მაკეტი, რომელთა საშუალებითაც შეიძლება წარმოვიდგინოთ ექსტრემალური კონფიგურაციები. ამგვარად, ჩვენ გამოვითვალეთ მათემატიკოსების მიერ ანალიტიკურად დადგენილი d – სფეროების ისეთი Z მაქსიმალური რაოდენობა, რომელიც მოცემულ D/d ფარდობის დროს ერთდროულად შეეხება ცენტრალურ D – სფეროს. ასევე დავადგინეთ ამ კონფიგურაციების გეომეტრული და ტოპოლოგიური დეტალები. 


მაგრამ რა ხდება რეალურ სტატისტიკურ ნარევში? როგორი ტიპის ვორონოის პოლიედრები წარმოიქმნება იქ და რა დამოკიდებულებაში არიან ისინი ექსტრემალურ კონფიგურაციასთან?


ამ კითხვაზე პასუხს იძლევა ექსპერიმენტული შედეგები, რომელიც მიღებული იყო პირველ ლექციაში ნახსენები ცდების მეშვეობით. კერძოდ, პლასტილინის სხვადასხვა ზომის სფერული ბურთულების ანსამბლის ყოველმხრივი შეკუმშვის პირობებში მიღებული მრავალწახნაგების (სურ.1.3) სტატისტიკური თვისებების გამოკვლევის შედეგად [17]. ეს შედეგები მოყვანილია ცხრილში 2.2 და გრაფიკულად გამოსახულია სურ. 2.13.

 

სურ. 2.13.   არარეგულარული მრავალწახნაგას წახნაგების რიცხვის დამოკიდებულება  (D/d): 1 –n3; 2 –n4; 3 –n5; 4 –n6

 

აქ, – ცენტრალური მრავალწახნაგას წახნაგების რაოდენობის საშუალო მნიშვნელობაა;


Sz – საშუალოდან საშუალო კვადტატული გადახრა;


P – შესწვლილ პოლიედრების რიცხვი;


ni – კუთხედიანი წახნაგების ფარდობითი რაოდენობა  .


აქედან ჩანს, რომ D/d ზრდის დროს არარეგულარული პოლიედრის სამკუთხა (n3) და ოთხკუთხა (n4) წანგების წილი მონოტონურად მცირდება, ხუთხკუთხა (n5) წახნაგების რაოდენობა D/d ≈1,1 მახლობლობაში მაქსიმალურია, ხოლო ექვსკუთხა (n6) წახნაგების რიცხვი მუდმივად მატულობს. ცხადია, რომ ზღვარში, როცა D/d →∞, ვორონოის პოლიედრი გადაგვარდება ბრტყელ ბადეში {6,3}, რაც იმას ნიშნავს, რომ ყველა წვეროში თავს მოიყრის 3 სწორი ექვსკუთხედი. ეს ნათლად შეიძლება წარმოვიდგინოთ, თუ ავაგებთ  ფუნქციის გრაფიკს, სადაც  მოცემული D/d ფარდობისათვის () წახნაგების გასაშუალებული რიცხვია. როგორც ვხედავთ ამ მონაცემების ექსტრაპოლაცია d/D = 0 გვაძლევს =6.

 

 

სურ. 2.14.  ვორონოის პოლიედრის გასაშუალებული წახნაგი ექსტრემალური (ღია ფერის რგოლები) და არარეგულარული (შავი წერტილები) განლაგების შემთხვევაში

 

ამ მონაცემებიდან კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი დასკვნა შეიძლება გავაკეთოთ: მეხუთე რიგის სიმეტრია დამახასიათებელია ისეთი მოუწესრიგებელი სისტემისათვის, რომელთა ნაწილაკების ზომები მცირედ განსხვავდებიან (D≈d). ყველა სხვა შემთხვევაში ვორონოის პოლიედრის ძირითადი ფრაგმენტი ხუთკუთხედისაგან განსხვავებულია. D/d პატარა მნიშვნელობებისათვის ჭარბობს ოთხკუთხა წახნაგები, რომლის წილი D/d ზრდასთან ერთად მცირდება, ჯერ ხუთხკუთხა წახნაგების, ხოლო შემდეგ ექვსკუთხა წახნაგების ზრდის ხარჯზე.


მთლიანობაში ასეთივე ტენდენცია შეიმჩნევა ექსტრემალურ კონფიგურაციაშიც, მაგრამ განსხვავებით არარეგულარული პოლიედრიდან, რომლისთვისაც  ფარდობის d/D მონოტონური ფუნქციაა, ექსტრემალური კონფიგურაციისათვის იგი ნახტომისებურად იცვლება. ამის მიზეზზე ზემოთ მიუთითეთ. აქ დამატებით დავძენთ, რომ ექსტრემალურ შემთხვევაში ყველა სფერო ფიზიკურად ეხება ერთმანეთს. არარეგულთრულ სტრუქტურაში ვორონოის უჯრედის ფორმირების პროცესში ფიზიკურ კონტაქტში მყოფ ნაწილაკებთან ერთად მონაწილეობენ გეომეტრიული მეზობლებიც, რომლებიც ცენტრალური ნაწილაკიდან რამდენადმე დაცილებულები არიან (სურ. 1.1 б).


მიღებული სურათი არავითარ თეორიულ პროგნოზს არ ემორჩილება, მითუმეტეს რიცხობრივი ანალიზის თვალსაზრისით და უნიკლურად უნდა მივიჩნიოთ.
ამ გამოკვლევების საფუძველზე დაზუსდა ჩვენს მიერ ადრე მიღებული შეფასება (2.2) და ახლა ჩვენ შეგვიძლია თამამად დავწეროთ ვორონოის პოლიედრის წახნაგების რიცხვის დიამეტრების ფარდობისაგან დამოკიდებულება:

 

 

 

 ანუ განვსაზღვროთ საკოორდინაციო რიცხვის ცვლილება D/d  მიხედვით. აქედან ცხადათ ჩანს, რომ ორმაგი ნარევის კონცენტრაციული ინტერვალის საწყის და საბოლოო მონაკვეთებზე სხვადასხვასახელა კონტაქტების, ანუ ჰეტეროგენული კონტაქტების რიცხვი განსხვავებულია და მით უფრო შესამჩნევად, რაც უფრო განსხვავებულია D/d ერთისაგან. აქედან გამომდინარე პატარა d–ნაწილაკების ნარევში დიდი D–ნაწილაკების შეყვანის შედეგად სხვადასხვასახელა კონტაქტების (2-1) წარმოქმნის ალბათობა შემდეგნაირად შეიძლება გამოვსახოთ:

 

 

და პირიქით, დიდ ნაწილაკებში პატარების განზავების შემთხვევაში:

 

სადაც Z0 ერთკომპონენტიანი (მონოფრაქციული) ნარევის საკოორდინაციო რიცხვია, ხოლო ni ნაწილაკების კონცენტრაცია. თუ მიღებულ შედეგებს გავავრცელებთ კონცენტრირებულ ნარევებზე, მაშინ მათი ერთობლივი ამოხსნა მოგვცემს ნარევში მაქსიმალური კონტაქტების რიცხვის შესაბამის კონცენტრაციას:

 

 

 

 

 

სადაც 

 

 


გიბს-დიუგემის  გარდაქმნის თანახმად [18] შეგვიძლია დავწეროთ:

 

 

სადაც  და  სხვადასხვასახელა კონტაქტების პარციალური სიდიდეებია.


დავშალოთ P(N) ფუნქცია მწკრივად  მახლობლობაში. დაშლის შემდეგ გვაქვს:

 

 

 შემოვიღოთ აღნიშვნა 

 

და შემოვიფარგლოთ პირველი ორი წევრით:

 

 


გავაწარმოვოთ (2.10) N-ით

 

 

და მხედველობაში მივღოთ, რომ . ამით განისაზღვრება კოეფიციენტები:

 

და მარტივი გარდაქმნების შემდეგ საბოლოოდ მივიღებთ:

 

 


ან სხვა ფორმით:

 

ამგვარად, ჩვენ შევიმუშავათ ბნევადი არის მოდელი მონოფრაქციული (პირველი ლექცია) და ბიფრაქციული ნარევაბისათვის, რომლის თანახმადაც შეგვიძლია განვსაზღვროდ მასალის ფორიანობა, სტრუქტურული მოტივები და მიკროსკოპული მახასიათებლები – საკოორდინაციო რიცხვი, სხვადასხვასახელა კონტაქტების რაოდენობა და მისი კონცენტრაციულ-ფრაქციული დამოკიდებულება.

 

 

 გამოყენებული ლიტერატურა

  1. Хантадзе Д.В., Топуридзе Н.И. Механизм уплотнения двухкомпонентных сыпучих сред, моделируемых шаровыми частицами. - Инженерно-физический журн. 1977, 33, №1, С. 120-125.
  2. Хантадзе Д.В., Топуридзе Н.И. Теория уплотнения двухкомпонентных сыпучих сред и ее применение при расчете физико-химических свойств бинарных металлических расплавов. Сб.Металловедение и коррозия металлов. -Тбилиси: Мецниереба, 1977, Вып.5, - c.35-45.
  3. Deiters U. Coordination numbers for rigid spheres of different size - estimating the number, of nextneighboor interactions in a mixture. - Fluid phase Equilibria. I982, 8, p. 123-129.
  4. Deiters U. Reply to “Letter to the Editor”. - Fluid Phase Equilib­ria. 1983, 12, №1-2, 193-197.
  5. Ouchiyama N., Tanaka T. Estimation of the overage number of con­tacts between randomly mixed solid particles. - Eng. chem. Fundam. 1980, №19, p.338-340.
  6. Eduljee G. Coordination numbs for rigid spheres of different - Fluid  Phase Equilibria. 1983, 12, №1-2, p.190-192.    
  7. Sandler S. On the coordination numbers for rigid spheres. - Fluid Phase Equilibria. 1983, 12, № 1-2, 189-190.
  8. Тот Л. Расположение на плоскости, на сфере и в пространстве.- М.: Госиздат    физ. мат. литературы, 1958, 364 с.
  9. Люстерник Л.А. Выпуклые фигуры и многогранники. - М.: Изд-во технико-теоретической литературы, I956, 2I2 с.
  10. Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. - М. «Наука», 1981, 344с.
  11. Барановский Е.П. Упаковки, покрытия, разбиения и некоторые другие расположения в пространствах постоянной кривизны. - В кн.: Алгебра, топология, геометрия. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1969, с.I89-225.
  12. Viggo В. On regular packing of equal circles touching each other on the surface of a sphere. - Communs  Pure and Appl. Math.  1976, 29, №6, p.583-590.    
  13. Goldberg M. Packing of 18 equal circles and a sphere. - Math. 1965, 20, №3, p.59-61.
  14. Tibor Tarnai. Note on packing of 19 equal circles on a sphere. - Math. l985, 39, №2, p.25-27.
  15. Robinson R. Arrangement of 24 points on a sphere.-Math. Ann. 1961, 144, №1, p.17-48.
  16. Goldberg M. Packing of 33 equal circles on a sphere.-Elem. Math. 1963, 18, №5 p.99-100.
  17. Хантадзе Д.В., Топуридзе Н.И., Цуладзе Т.А. Внутренняя структура плотноупакованного статистического ансамбля жестких сфер и ее связь с термодинамикой смешения. Сб.: Металловедение и коррозия металлов. Тбилиси: Мецниереба, 1984, с. 17-27.
  18. Вагнер К. Термодинамика сплавов. - М.: Металлургиздат, 1957, 180с.
  19. Д.Хантадзе (2009). Структурные модели и свойства металлических расплавов. Тбилиси: Форма, 2009, 160 с.

 

 

11-08-2015    ნანახია: 2 075-ჯერ